Congruencias y otras incongruencias
Me permito hacer una entrada nueva para este tema de Fermat, fundamentalmente porque me da la gana (es que me resulta más cómodo).
La calculadora de Windows y cualesquiera otra similar están basadas en logaritmos, no valen para comprobar estos números gordos. Según la exactitud podríamos llegar a establacer un intervalo de confianza, pero yo no estaría muy seguro (hay un artículo el Investigación y Ciencia de hace unos meses muy bueno sobre la exactitud de los algoritmos numéricos de los ordenadores; viene a decir que es mejor no fiarse). Excel es una calculadora gorda y en algunos casos mala: 10-17=0
Para la comprobación lo más fácil es por congruencias, que si no me equivoco con el término, viene a ser que el resto al dividir por algo elevado a algo es el mismo. Bueno, algo más concretamente:
(an)|d=((a|d)n)|d
Bueno, no sé si se pone así, pero pongamos que en la ecuación:
an+bn=cn
buscamos un divisor d (supongo que más pequeño que el menor de a,b y c) y obtenemos el resto de a/d, b/d y c/d. Bueno pues el resto de la suma del resto de los dos primeros restos elevados a n debe ser igual al resto del tercer resto elevado a n. Y la primera parte contrante de la primera parte ....
En la práctica, si usamos 10 como divisor significa que podemos hacer el cálculo sólo con la última cifra y tiene que coincidir (por supuesto coincide también sólo en la última cifra) Si la suma es correcta, aún no podemos aseverar que la ecuación sea buena, pero en cuanto encontremos un divisor donde no coincida, podemos asegurar que es incorrecta. Lo más facilón es probar la última cifra, luego las dos últimas cifras, luego las tres últimas... pocos "falsos ejemplos" pasarán la segunda prueba, pero la tercera poquísimos. Claro, si pasa con 3 cifras pasa con 2 y con 1, no hubiera sido necesario probar con 1 y 2. Se puede hacer un pogamita que vaya calculando los restos al dividir empezando con 2 (que coincide criterio de paridad que habéis explicado) y de ahí palante. Podemos usar los primos por aquello de que molan, pero también los naturales o los que se nos ocurran.
En este caso sí que echaremos patrás un falso ejemplo en pocos pasos, es complejo buscar falsos ejemplos que cumplan varios divisores al mismo tiempo, pero sí se podría buscar un ejemplillo que cumpliera las 3 últimas cifras (divisor 1000) y nos llevara por la calle de la amargura durante un rato.
En el caso que nos ocupa: 398712 + 436512 = 447212 los muy puñeteros hacen coincidir la última cifra (712=xxxx1, 512=xxxx5 y 212=4096, por tanto 1+5=6 coincide) pero no las dos últimas. Para probarlo fácilmente he usado Excel, calculando (87*87)|100 que es 69 y luego (69*87)|100 y así 11 veces.
Bueno, espero que no os hayáis aburrido.
La calculadora de Windows y cualesquiera otra similar están basadas en logaritmos, no valen para comprobar estos números gordos. Según la exactitud podríamos llegar a establacer un intervalo de confianza, pero yo no estaría muy seguro (hay un artículo el Investigación y Ciencia de hace unos meses muy bueno sobre la exactitud de los algoritmos numéricos de los ordenadores; viene a decir que es mejor no fiarse). Excel es una calculadora gorda y en algunos casos mala: 10-17=0
Para la comprobación lo más fácil es por congruencias, que si no me equivoco con el término, viene a ser que el resto al dividir por algo elevado a algo es el mismo. Bueno, algo más concretamente:
(an)|d=((a|d)n)|d
Bueno, no sé si se pone así, pero pongamos que en la ecuación:
an+bn=cn
buscamos un divisor d (supongo que más pequeño que el menor de a,b y c) y obtenemos el resto de a/d, b/d y c/d. Bueno pues el resto de la suma del resto de los dos primeros restos elevados a n debe ser igual al resto del tercer resto elevado a n. Y la primera parte contrante de la primera parte ....
En la práctica, si usamos 10 como divisor significa que podemos hacer el cálculo sólo con la última cifra y tiene que coincidir (por supuesto coincide también sólo en la última cifra) Si la suma es correcta, aún no podemos aseverar que la ecuación sea buena, pero en cuanto encontremos un divisor donde no coincida, podemos asegurar que es incorrecta. Lo más facilón es probar la última cifra, luego las dos últimas cifras, luego las tres últimas... pocos "falsos ejemplos" pasarán la segunda prueba, pero la tercera poquísimos. Claro, si pasa con 3 cifras pasa con 2 y con 1, no hubiera sido necesario probar con 1 y 2. Se puede hacer un pogamita que vaya calculando los restos al dividir empezando con 2 (que coincide criterio de paridad que habéis explicado) y de ahí palante. Podemos usar los primos por aquello de que molan, pero también los naturales o los que se nos ocurran.
En este caso sí que echaremos patrás un falso ejemplo en pocos pasos, es complejo buscar falsos ejemplos que cumplan varios divisores al mismo tiempo, pero sí se podría buscar un ejemplillo que cumpliera las 3 últimas cifras (divisor 1000) y nos llevara por la calle de la amargura durante un rato.
En el caso que nos ocupa: 398712 + 436512 = 447212 los muy puñeteros hacen coincidir la última cifra (712=xxxx1, 512=xxxx5 y 212=4096, por tanto 1+5=6 coincide) pero no las dos últimas. Para probarlo fácilmente he usado Excel, calculando (87*87)|100 que es 69 y luego (69*87)|100 y así 11 veces.
Bueno, espero que no os hayáis aburrido.
Comentarios
Te voy a arreglar el post pa que veas!!!
Joder cómo ha cambiado el cuento. Yo siempre he trabajado con dos decimales, cómo mucho tres :-)
Personas humanas en general: ¿qué es un decimal?
Economistas y otros bichos similares: dos, el tercero confunde. Si se necesita el tercero, úsense fracciones que queda muy chic.
Ingenieros: tres como mucho, y sólo si la normativa ISO lo requiere.
Físicos: cuatro, pero es para fardar de más exactitud que los ingenieros.
Matemáticos: infinitos. Y son pocos.
Como diría mucha gente que yo conozco:
Es que si no, es un lio.
Todo lo que esta fuera de ahi, es sólo para clase privilegiadas (en el conocimiento y en la cartera).
=D